A razão é um conceito oriundo da Matemática e está diretamente relacionada com a quantificação. Caracterizada pela operação de divisão, ela é estruturada por um numerador e um denominador. Veja:

a → numerador
    b → denominador

*b sempre deverá ser diferente de zero.

As razões podem relacionar grandezas iguais ou diferentes. Entenda por grandeza medidas como o metro, segundo, litro, hora, quilômetro, entre muitas outras. A velocidade média e a densidade demográfica são exemplos de cálculos de razão que envolvem grandezas diferentes. Vejamos detalhadamente como se efetuam cada uma delas:

O cálculo da velocidade média pode ser encontrado nos conteúdos de Física e de Química. Entenda velocidade média como a razão entre a distância percorrida e o tempo:

V_m = d
         t

V_m = Velocidade Média;
d = Distância percorrida. A distância pode ser medida em km (quilometro) ou em m (metro);
t = tempo. O tempo pode ser dado em h (horas) ou s (segundos).

Já o cálculo da densidade demográfica pode ser encontrado no conteúdo deGeografia. Essa razão é dada pela relação do número de habitantes (População) e a área ocupada.

Dd = Pa
        A

Dd = Densidade demográfica;
Pa = População. A unidade de medida para polução é hab (habitante);
A = Área. A área é medida em Km² (quilômetro quadrado).

Para entendermos melhor essas duas razões, resolveremos dois exemplos:

Exemplo 1

Um trem-bala viaja por 286 km de uma cidade A a uma cidade B e faz esse percurso em 40 minutos. Calcule a velocidade média desse trem durante a viagem.

V_m = ? → Esse é o valor que precisamos calcular;

d = 286 km;

t = 40 min = 40 : 60 = 0,6 h (hora) → Tivemos que converter de minuto para hora porque, quando o cálculo é de velocidade média, as grandezas são: km/h (quilômetro/hora) ou m/s (metro/segundo).

V_m = d → V_m = 286 km → V_m = 477 km/h aproximadamente.
        T               0,6 h

Exemplo 2

O estado de Goiás, no censo de 2014, teve a sua população avaliada em 6.523.222 habitantes. A sua área é de aproximadamente 340.111,376 Km². Determine a densidade demográfica dessa região e diga o que significa essa razão.

 

Dd = ?
Pa = 6.523.222 hab (habitantes);
A= 340.111,376 Km² (Quilômetro quadrado).

Dd = Pa
         A

Dd = 6.523.222 hab = 19,17 hab/Km² 
       340.111,376 Km²

Isso significa que, em um quilômetro, há 19 habitantes.

Razões

A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A B

Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12 3	= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:

3 6	= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A B	= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.

Líquido	Situação1	Situação2	Situação3	Situação4
Suco puro	3	6	8	30
Água	8	16	32	80
Suco pronto	11	22	40	110

Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.

Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.

Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.

10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

Proporções

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A B	=	C D

Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma

6:3::8:4.

Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção:

A B	=	C D

os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:

A · D = B · C

Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3 4	=	6 8

Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.

Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x 3	=	4 6

Para obter X=2.

Razões e Proporções de Segmentos

Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.

A________B,    C ______________ D

Comparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB) m(CD)	=	2 4

Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos Semelhantes

Dois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS=5/(2,5)=2   BC/ST=4/2=2   AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :

ABC ~ DEF

Figuras Semelhantes

Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.

As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.

Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.

AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2

Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:

ABC ~ DEF

Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razões

Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
   v_média = distância percorrida / tempo gasto
   
   
   Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
   
   A partir dos dados do problema, teremos:
   v_média = 328 Km / 2h = 164 Km/h
   o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.
2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
   escala = comprimento no desenho / comprimento real
   Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
   Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
   
   Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4
   Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8
   Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6
   O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
   Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
   Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:
   dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²
   densidade demográfica = 60 habitantes/ Km²
   Isto significa que para cada 1 Km²existem aproximadamente 60 habitantes.
4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.
   Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.
   Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
   
   Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

   Substância	Densidade [g/cm³]
   madeira	0,5
   gasolina	0,7
   álcool	0,8
   alumínio	2,7
   ferro	7,8
   mercúrio	13,6

5. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:
   Pi = 3,1415926535
   Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
   C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...
   significando que
   C = Pi . D
   Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

Inequações do 1º Grau

O primeiro estudo realizado com relação às expressões algébricas envolve a análise dos valores da incógnita que satisfazem uma determinada igualdade, ou seja, o estudo das equações. Nesse artigo faremos o estudo das inequações, ou seja, estudaremos os valores da incógnita que fazem com que a expressão algébrica possua um determinado valor (positivo ou negativo), pois as inequações consistem em desigualdades (≠, ≤, ≥, <, >). Caso você ainda possua dúvidas sobre os conceitos básicos da inequação, acesse o artigo “Inequação”.

As inequações do 1º grau consistem em desigualdades nas quais as expressões algébricas são expressões do 1º grau (maior expoente da incógnita é 1).

Os métodos para solucionar uma inequação do 1º grau são bem simples. Devemos isolar a incógnita e, caso façamos uma operação que envolva um número negativo, devemos inverter o sinal da desigualdade. As incógnitas são valores que estão no conjunto dos números reais, portanto, quando você obtiver a solução de uma inequação, faça a representação dessa solução nas retas dos reais. Por exemplo, quando você obtém a solução x > 1, em outras palavras você possui a informação de que para a expressão algébrica inicial, todos os valores maiores do que 1 irão satisfazer aquela desigualdade.

Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x - 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 - x < 0

Resolvendo uma inequação de 1° grau

Uma maneira simples de resolver uma inequação do 1° grau é isolarmos a incógnita x em um dos membros. Observe dois exemplos:
Exemplo 1: -2x + 7 > 0
Solução:
-2x > -7
Multiplicando por (-1)
2x < 7
x < 7/2
Portanto a solução da inequação é x < 7/2.
Exemplo 2: 2x - 6 < 0
Solução:
2x < 6
x < 6/2
x < 3
Portanto a solução da inequação e x < 3
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau por meio do estudo do sinal de uma função do 1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme o caso.
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2

Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x - 6 = 0
x = 3

a) 2x + 1  x + 6

b) 2 - 3x  x + 14

c) 2(x + 3) > 3 (1 - x)

d) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7

e) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

f) (x + 3) > (-x-1)

g) [1 - 2*(x-1)] < 2

h) 6x + 3 < 3x + 18

i) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

j) (x + 10) > ( -x +6)

http://www.somatematica.com.br/soexercicios/inequacoes.php

Divisão de polinômio por polinômio.

A operação de divisões é composta por dividendo, divisor, quociente e resto, no caso da divisão de polinômio por polinômio, considerando que cada um deles seja formado por mais de um monômio, iremos considerar a seguinte divisão: 

P(x) |G(x) 
R(x) D(x) 

Onde P(x) é o dividendo; G(x) divisor; D(x) quociente e R(x) resto. 

OBSERVAÇÃO: O resto em uma divisão de polinômio por polinômio pode ser: 
• Igual à zero, nesse caso a divisão é exata, ou seja, o dividendo é divisível pelo divisor. 
• Ou o resto pode ser diferente de zero, podendo assumir um valor real ou pode ser um polinômio, nesse caso será considerado resto um valor ou polinômio menor que o divisor. 

A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados. 

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5). 

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações: 

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x. 
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar. 

Feita as verificações podemos iniciar a divisão. 

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos). 

6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5  | 2x² – 4x + 5 

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor: 

6x⁴ : 2x² = 3x² 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor). 

(2x² – 4x + 5) . (3x²) = 6x⁴ – 12x³ + 15x² 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5 (dividendo). 



• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x³ – 6x² + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5). 

2x³ : 2x² = x 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor) 

(2x² – 4x + 5) . (x) = 2x³ – 4x² + 5x 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x³ – 6x² + 9x – 5. 




• Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x² – 4x + 5). 

-2x² : 2x² = -1 

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x² – 4x + 5 (divisor) 

(2x² – 4x + 5) . (-1) = - 2x² + 4x - 5 

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x² +4x – 5. 



Portando, podemos dizer que (6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5) : (2x² – 4x + 5) = 3x² +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x² +x – 1) por 2x² – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.

Divisão de polinômios

Definição

Considere dois polinômios: A(x) denominado dividendo e B(x) denominado divisor, com B(x) ≠ 0. 
Na divisão de A por B obtemos a função polinomial Q, denominada quociente, e a função polinomial R denominada resto, onde A(x) ≡ B(x) . Q(x) + R(x) e o grau do resto é menor que o grau do divisor. 

Veja a representação:

Veja no exemplo abaixo que se o grau do divisor for maior que o grau do dividendo, conseqüentemente o quociente será nulo e o resto será igual ao dividendo.

Exemplo:

Dividindo A(x) = x² + 3x + 3 por B(x) x³ + 4x⁴ + 5 obtemos Q(x) = 0 e R(x) x² + 3x + 3

Veja: 

Agora veja um exemplo em que gr(A) ≥ gr(B):

Dividindo A(x) = x³ + 3x + 4 por B(x) = x² – 1, obtemos Q(x) = x e R(x) = 4x + 4 
Veja: 

Cálculo de Q e R

A existência e a unicidade do quociente (Q) e do resto (R) da divisão de A por B, sendo B ≠ 0, é garantida. Ambos podem ser calculados através do Método da Chave.

Método da chave

Considerando os polinômios A e B já reduzidos e ordenados, podemos dizer que o Método da Chave é mecanismo prático que tem a função de obter o quociente (Q) e o resto (R), em diversas etapas, de uma forma semelhante a que fazemos na divisão euclidiana de números naturais. 

Exemplo:

Na divisão A(x) = 2x³ + 7x² + 4x – 4 por B(x) = x² + 2x – 3 através do Método da Chave, temos: 

1) Primeiro grupo de operações:

Dividimos o primeiro fragmento do dividendo pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim a primeira parcela do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial.

Lembre-se que: R = A – B . Q 

Conclusões:

►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do dividendo é maior que o grau do resto parcial.

►2x³ + 7x² + 4x – 4 ≡ (x² + 2x – 3) . (2x) + (3x² + 10 – 4)

►Como o grau do resto parcial não é menor que o grau do divisor, podemos dizer que a divisão ainda não foi concluída.

2) Segundo grupo de operações

Dividimos o primeiro fragmento do primeiro resto parcial pelo primeiro fragmento do divisor, obtendo assim o próximo fragmento do quociente, e logo depois o segundo resto parcial.

Lembre-se que: R = A – B . Q 

Conclusões:

►Como há o cancelamento do primeiro fragmento, o grau do primeiro resto parcial é maior do que o grau do segundo resto parcial.

►2x³ + 7x² + 4x – 4 ≡ (x² + 2x – 3) . (2x + 3) + (4x + 5)

►Como o grau do divisor é maior do que o grau do segundo resto parcial, podemos dizer que a divisão foi concluída. 

Portanto:

Da divisão 2x³ + 7x² + 4x – 4 por x² + 2x – 3 obtemos:

Q(x) = 2x + 3

R(x) = 4x + 5 

Método de Descartes

É um método também conhecido como Método dos Coeficientes a Determinar, que tem como funções

– formar o quociente Q, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(Q) = gr(A) – gr(B).

– formar o resto R, em função de coeficientes a serem determinados, sendo que gr(R) < gr(B) ou R(x) ≡ 0.

– aproveitar a definição da divisão.

– através da identificação dos polinômios, obter os coeficientes Q e R.

Fonte: http://www.colegioweb.com.br/polinomios/divisao-de-polinomios.html#ixzz3l9aciV3x